Definiția relației liniare

Ce este o relație liniară?

O relație liniară (sau asociere liniară) este un termen statistic utilizat pentru a descrie o relație liniară între o variabilă și o constantă. Relațiile liniare pot fi exprimate fie într-un format grafic în care variabila și constanta sunt conectate printr-o linie dreaptă, fie într-un format matematic în care variabila independentă este înmulțită de coeficientul de pantă, adăugat de o constantă, care determină variabila dependentă.

O relație liniară poate fi contrastată cu o relație polinomială sau neliniară (curbă).

Cheie de luat cu cheie

O relație liniară (sau o asociere liniară) este un termen statistic utilizat pentru a descrie o relație liniară între o variabilă și o constantă. Relațiile liniare pot fi exprimate fie într-un format grafic, fie ca o ecuație matematică a formei y = mx + b. Relațiile liniare sunt destul de frecvente în viața de zi cu zi.

Ecuația liniară este:

Matematic, o relație liniară este una care satisface ecuația:

$\begin{matrix} y = m X + b \\ Unde: \\ m = pantă \\ b = y-intercept \end{matrix} \ begin {align} & y = mx + b \\ & \ textbf {unde:} \ & m = \ text {panta} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {aliniat}$ y = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept

În această ecuație, „x” și „y” sunt două variabile care sunt legate de parametrii „m” și „b”. Grafic, y = mx + b se complotează în planul xy ca linie cu panta „m” și interceptarea y „b.” Intercepția y „b” este pur și simplu valoarea „y” când x = 0. Panta „m” este calculată din oricare două puncte individuale (x ₁, y ₁) și (x ₂, y ₂) ca:

$m = \frac{(y_{2} - y_{1})}{(X_{2} - X_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 -X1) (y2 -Y1)

Relația liniară

Ce vă spune o relație liniară?

Există trei seturi de criterii necesare pe care trebuie să le îndeplinească o ecuație pentru a se califica ca una liniară: o ecuație care exprimă o relație liniară nu poate consta din mai mult de două variabile, toate variabilele dintr-o ecuație trebuie să fie la prima putere, iar ecuația trebuie să fie grafică drept linie dreaptă.

O funcție liniară în matematică este una care satisface proprietățile aditivității și omogenității. Funcțiile liniare respectă, de asemenea, principiul superpoziției, care afirmă că ieșirea netă a două sau mai multe intrări este egală cu suma rezultatelor intrărilor individuale. O relație liniară obișnuită este o corelație, care descrie modul în care o variabilă se schimbă în mod liniar la schimbările în altă variabilă.

În econometrie, regresia liniară este o metodă frecvent utilizată de a genera relații liniare pentru a explica diverse fenomene. Nu toate relațiile sunt însă liniare. Unele date descriu relațiile curbate (cum ar fi relațiile polinomiale), în timp ce alte date nu pot fi parametrizate.

Funcții liniare

Asemănarea matematică a unei relații liniare este conceptul unei funcții liniare. Într-o variabilă, o funcție liniară poate fi scrisă după cum urmează:

$\begin{matrix} f (X) = m X + b \\ Unde: \\ m = pantă \\ b = y-intercept \end{matrix} \ begin {align} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {unde:} \ & m = \ text {panta} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {aliniat}$ f (x) = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept

Aceasta este identică cu formula dată pentru o relație liniară, cu excepția faptului că simbolul f (x) este utilizat în locul lui y. Această substituție este făcută pentru a evidenția sensul că x este asociată cu f (x), în timp ce utilizarea lui y indică pur și simplu că x și y sunt două cantități, legate de A și B.

În studiul algebrei liniare, proprietățile funcțiilor liniare sunt amplu studiate și făcute riguros. Având în vedere un scalar C și doi vectori A și B de la R ^N, definiția cea mai generală a unei funcții liniare prevede că: $c \times f (A + B) = c \times f (A) + c \times f (B) c \ times f (A + B) = c \ times f (A) + c \ times f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Exemple de relații liniare

Exemplul 1

Relațiile liniare sunt destul de frecvente în viața de zi cu zi. Să luăm, de exemplu, conceptul de viteză. Formula pe care o folosim pentru a calcula viteza este următoarea: viteza este distanța parcursă în timp. Dacă cineva dintr-o minivacană albă din Chrysler Town and Country 2007 călătorește între Sacramento și Marysville, în California, o lungime de 41, 3 mile pe autostrada 99, iar întreaga călătorie se termină cu 40 de minute, ea va fi călătorit chiar sub 60 km / h.

Deși există mai mult de două variabile în această ecuație, este totuși o ecuație liniară, deoarece una dintre variabile va fi întotdeauna o constantă (distanță).

Exemplul 2

O relație liniară poate fi găsită și în distanța ecuației = rata x timp. Deoarece distanța este un număr pozitiv (în majoritatea cazurilor), această relație liniară ar fi exprimată în cadranul din dreapta sus al unui grafic cu axa X și Y.

Dacă o bicicletă făcută pentru doi a călătorit cu o viteză de 30 de mile pe oră timp de 20 de ore, călărețul va ajunge să călătorească 600 de mile. Reprezentată grafic cu distanța pe axa Y și timpul pe axa X, o linie care urmărește distanța pe parcursul acelor 20 de ore ar urma să parcurgă direct din convergența axelor X și Y.

Exemplul 3

Pentru a converti Celsius în Fahrenheit sau Fahrenheit în Celsius, ați folosi ecuațiile de mai jos. Aceste ecuații exprimă o relație liniară pe un grafic:

$° C = \frac{5}{9} (° F - 32) \ grade C = \ frac {5} {9} ( gradul F - 32)$ ° C = 95 (° F-32)

$° F = \frac{9}{5} (° C + 32) \ grade F = \ frac {9} {5} ( grad C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

Exemplul 4

Presupunem că variabila independentă este mărimea unei case (măsurată prin metru pătrat) care determină prețul de piață al unei locuințe (variabila dependentă) atunci când este înmulțită cu coeficientul de pantă de 207, 65 și este adăugată la termenul constant de 10 500 $. Dacă metrajul pătrat al unei locuințe este de 1.250, atunci valoarea de piață a locuinței este (1.250 x 207.65) + 10.500 $ = 270.062, 50 USD. Grafic și matematic, apare astfel:

În acest exemplu, pe măsură ce dimensiunea casei crește, valoarea de piață a casei crește liniar.

Unele relații liniare între două obiecte pot fi numite „constantă a proporționalității”. Această relație apare ca

$\begin{matrix} Y = k \times X \\ Unde: \\ k = constant \\ Y . X = cantități proporționale \end{matrix} \ begin {align} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {unde:} \ & k = \ text {constant} \ & Y, X = \ text {cantități proporționale} \ \ end {aliniate}$ Y = k × Xwhere: k = constantY, X = cantități proporționale

Când analizăm datele comportamentale, rareori există o relație liniară perfectă între variabile. Cu toate acestea, liniile de tendință pot fi găsite în datele care formează o versiune aproximativă a unei relații liniare. De exemplu, puteți privi vânzarea de înghețată și numărul de vizite la spital ca cele două variabile în joc într-un grafic și să găsiți o relație liniară între cele două.

Cuprins: