Opțiunile de evaluare pot fi o afacere complicată. Luați în considerare următorul scenariu: În ianuarie 2015, stocul IBM a fost tranzacționat la 155 USD și vă așteptați să crească în următorul an. Intenționați să cumpărați o opțiune de apel pe stocul IBM cu un preț de grevă bancomat de 155 USD, așteptând să beneficiați de un procent ridicat de rentabilitate, bazat pe un cost mic de opțiune (opțiune premium), în comparație cu achiziția de acțiuni cu un preț ridicat de cumpărare.
Care ar trebui să fie valoarea justă a acestei opțiuni de apel pe IBM?
Astăzi, câteva metode gata pregătite sunt disponibile pentru opțiuni de valoare - inclusiv modelul Black-Scholes și modelul de arbore binomial - care pot oferi răspunsuri rapide. Dar care sunt factorii de bază și conceptele motrice pentru a ajunge la astfel de modele de evaluare? Se poate pregăti ceva similar, bazat pe conceptul acestor modele?
Aici, acoperim blocurile de construcție, conceptele subiacente și factorii care pot fi folosiți ca cadru pentru a construi un model de evaluare pentru un activ, cum ar fi opțiunile, oferind o comparație cot la cot cu originile Black-Scholes (BS) model.
Lumea Înainte de Scholile Negre
Înainte de Black-Scholes, modelul de prețuri de capital activ bazat pe echilibru (CAPM) a fost urmat pe scară largă. Rentabilitățile și riscurile au fost echilibrate între ele, pe baza preferințelor investitorului, adică a fost de așteptat ca un investitor cu risc ridicat să fie compensat cu (potențialul) de randamente mai mari într-o proporție similară.
Modelul BS își găsește rădăcinile în CAPM. Potrivit Fisher Black: „Am aplicat modelul de prețuri de capital activ în fiecare moment din viața unui mandat, pentru fiecare preț posibil de acțiune și valoarea garanției.” Din păcate, CAPM nu a reușit să îndeplinească cerința de preț (pentru opțiune).
Black-Scholes rămâne primul model, bazat pe conceptul de arbitraj, realizând o paradigmă de la modelele bazate pe riscuri (cum ar fi CAPM). Această nouă dezvoltare a modelului BS a înlocuit conceptul de rentabilitate a acțiunilor CAPM cu recunoașterea faptului că o poziție perfect acoperită va câștiga o rată fără riscuri. Aceasta a eliminat variațiile de risc și randament și a stabilit conceptul de arbitraj în care evaluările sunt efectuate pe presupuneri ale conceptului neutru de risc - o poziție acoperită (fără riscuri) ar trebui să conducă la o rată de rentabilitate fără riscuri.
Dezvoltarea Black-Scholes
Să începem prin stabilirea problemei, cuantificarea acesteia și elaborarea unui cadru pentru soluția sa. Continuăm cu exemplul nostru privind evaluarea opțiunii de apel ATM pe IBM cu un preț de grevă de 155 USD cu un an până la expirare.
Pe baza definiției de bază a unei opțiuni de apel, cu excepția cazului în care prețul stocului atinge nivelul prețurilor de grevă, rambursarea rămâne zero. După acest nivel, rambursarea crește liniar (adică, o creștere de un dolar a suportului va oferi o rambursare de un dolar din opțiunea de apel).
Presupunând că cumpărătorul și vânzătorul sunt de acord cu evaluarea echitabilă (inclusiv prețul zero), prețul just teoretic pentru această opțiune de apel va fi:
- Prețul opțiunii de apel = 0 $, dacă stau la baza <greva (grafic roșu) Prețul opțiunii de apel = (subiacent - grevă), dacă stă la baza> = grevă (grafic albastru)
Aceasta reprezintă valoarea intrinsecă a opțiunii și arată perfect din punctul de vedere al unui cumpărător de opțiuni de apel. În regiunea roșie, atât cumpărătorul, cât și vânzătorul au o evaluare echitabilă (preț zero pentru vânzător, rambursare zero pentru cumpărător). Cu toate acestea, provocarea de evaluare începe cu regiunea albastră, deoarece cumpărătorul are avantajul unui profit pozitiv, în timp ce vânzătorul suferă o pierdere (cu condiția ca prețul de bază să depășească prețul de grevă). Aici cumpărătorul are un avantaj față de vânzător cu preț zero. Prețurile trebuie să fie zero pentru a compensa vânzătorul pentru riscul pe care îl asumă.
În primul caz (grafic roșu), teoretic, prețul zero este primit de către vânzător și există un potențial de plată zero pentru cumpărător (corect pentru ambele). În cel din urmă caz (grafic albastru), vânzătorul îi va plăti diferențialului dintre suport și greva. Riscul vânzătorului se întinde pe durata unui an întreg. De exemplu, prețul de bază al acțiunii se poate deplasa foarte mare (să zicem la 200 USD în patru luni) și vânzătorul trebuie să plătească cumpărătorului diferențialul de 45 dolari.
Astfel, se reduce la:
- Prețul de bază încrucișează prețul de grevă? Dacă se întâmplă, cât de mare poate merge prețul de bază (deoarece acest lucru va determina rambursarea către cumpărător)?
Acest lucru indică riscul mare pe care îl are vânzătorul, ceea ce duce la întrebarea - de ce ar vinde cineva un astfel de apel, dacă nu primesc nimic pentru riscul pe care îl asumă?
Scopul nostru este să ajungem la un preț unic pe care vânzătorul ar trebui să-l încarce pe cumpărător, ceea ce îl poate compensa pentru riscul global pe care îl preia un an - atât în regiunea de plată zero (roșu), cât și în regiunea de plată liniară (albastru). Prețul trebuie să fie corect și acceptabil atât pentru cumpărător, cât și pentru vânzător. Dacă nu, atunci cel care este în dezavantaj în ceea ce privește plata sau primirea prețului nedrept, nu va participa pe piață, învingând astfel scopul activității de tranzacționare. Modelul Black-Scholes își propune să stabilească acest preț corect, luând în considerare variația constantă a prețului acțiunii, valoarea timpului banilor, prețul grevei opțiunii și timpul până la expirarea opțiunii. Similar modelului BS, să vedem cum putem aborda evaluarea acestui exemplu, folosind metodele noastre proprii.
Cum se evaluează valoarea intrinsecă în regiunea albastră?
Câteva metode sunt disponibile pentru a prezice mișcarea așteptată a prețurilor pe viitor într-un interval de timp dat:
- Se poate analiza mișcări de preț similare cu aceeași durată în trecutul recent. Prețul istoric de închidere IBM indică faptul că, în ultimul an (2 ianuarie 2014 - 31 decembrie 2014), prețul a scăzut la 160, 44 USD de la 185, 53 dolari, o scădere de 13, 5%. Putem încheia o modificare a prețurilor de -13, 5% pentru IBM? O verificare detaliată indică faptul că a atins un nivel anual de 199, 21 USD (la 10 aprilie 2014) și un nivel minim anual de 150, 5 USD (la 16 decembrie 2014). Pe baza acestora în ziua de început, 2 ianuarie 2014 și prețul de închidere de 185, 53 USD, modificarea procentuală variază de la + 7, 37% la -18, 88%. Acum, gama de variații arată mult mai largă comparativ cu declinul calculat anterior de 13, 5%.
Analize și observații similare asupra datelor istorice pot fi efectuate. Pentru a continua dezvoltarea modelului nostru de prețuri, să presupunem această metodologie simplă pentru a măsura variațiile viitoare de preț.
Presupunem că IBM crește 10% în fiecare an (pe baza datelor istorice din ultimii 20 de ani). Statisticile de bază indică faptul că probabilitatea ca schimbarea prețului acțiunilor IBM să se ridice în jurul valorii de + 10% va fi mult mai mare decât probabilitatea ca prețul IBM să crească cu 20% sau să scadă cu 30%, presupunând că modelele istorice se vor repeta. Colectând puncte istorice similare cu valori de probabilitate, o rentabilitate generală preconizată a prețului acțiunilor IBM într-un interval de timp de un an poate fi calculată ca medie ponderată de probabilități și randamente asociate. De exemplu, să presupunem că datele de preț istorice ale IBM indică următoarele mișcări:
- (-10%) în 25% de ori, + 10% în 35% de ori, + 15% în 20% de ori, + 20% în 10% de ori, + 25% în 5% de ori și (-15%) în 5% de ori.
Prin urmare, media ponderată (sau valoarea scontată) ajunge la:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Adică, în medie, prețul acțiunilor IBM este de așteptat să se întoarcă + 6, 5% la un an pentru fiecare dolar. Dacă cineva cumpără stocul IBM cu un orizont de un an și un preț de cumpărare de 155 USD, se poate aștepta la un profit net de 155 * 6, 5% = 10, 075 USD.
Totuși, aceasta este pentru rentabilitatea stocului. Trebuie să căutăm retururi similare preconizate pentru opțiunea de apel.
Pe baza rambursării zero a apelului sub prețul de grevă (155 USD existent - apel ATM), toate mișcările negative vor genera profituri zero, în timp ce toate mișcările pozitive peste prețul de grevă vor genera rambursări echivalente. Returul preconizat pentru opțiunea de apel va fi astfel:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Adică, pentru fiecare 100 USD investit în cumpărarea acestei opțiuni, se poate aștepta 9, 75 USD (pe baza presupunerilor de mai sus).
Totuși, acest lucru rămâne în continuare limitat la evaluarea echitabilă a valorii intrinseci a opțiunii și nu surprinde corect riscul suportat de vânzătorul de opțiuni pentru schimbările mari care pot apărea la nivel intermediar (în cazul celor mai sus-menționate intrayear mai sus. prețurile). Pe lângă valoarea intrinsecă, ce preț pot fi convenite de cumpărător și de vânzător, astfel încât vânzătorul să fie compensat în mod echitabil pentru riscul pe care îl preia pentru un an?
Aceste modificări pot varia foarte mult, iar vânzătorul poate avea propria sa interpretare despre cât de mult dorește să fie compensat pentru asta. Modelul Black-Scholes presupune opțiuni de tip european, adică niciun exercițiu înainte de data de expirare. Astfel, acesta rămâne neafectat de variațiile intermediare ale prețurilor și își bazează evaluarea în zilele de tranzacționare end-to-end.
În tranzacțiile din zilele reale, această volatilitate joacă un rol important în determinarea prețurilor la opțiuni. Funcția albastră de plată pe care o vedem în mod obișnuit este de fapt rambursarea la data de expirare. Realist, prețul opțiunii (grafic roz) este întotdeauna mai mare decât profitul (grafic albastru), ceea ce indică prețul luat de vânzător pentru a compensa abilitățile sale de asumare a riscurilor. Acesta este motivul pentru care prețul opțiunii este cunoscut și sub denumirea de opțiune „premium” - care indică în mod esențial prima de risc.
Acest lucru poate fi inclus în modelul nostru de evaluare, în funcție de cantitatea de volatilitate așteptată în prețul acțiunilor și de cât de mult se așteaptă valoarea pe care o va produce.
Modelul Black-Scholes o face eficient (desigur, în conformitate cu presupunerile sale) după cum urmează:
C = S × N (d1) -X × e-RTN (d2)
Modelul BS presupune o distribuție necunoscută a mișcărilor prețurilor acțiunilor, ceea ce justifică utilizarea lui N (d1) și N (d2).
- În prima parte, S indică prețul curent al stocului. N (d1) indică probabilitatea mișcării actuale a prețului acțiunilor.
Dacă această opțiune intră în bani, permițând cumpărătorului să exercite această opțiune, el va primi o parte din acțiunile de bază ale IBM. Dacă comerciantul îl exercită astăzi, atunci S * N (d1) reprezintă valoarea așteptată a opțiunii actuale.
În partea a doua, X indică prețul grevei.
- N (d2) reprezintă probabilitatea ca prețul acțiunii să depășească prețul de grevă.Așadar, X * N (d2) reprezintă valoarea preconizată a prețului acțiunilor rămase peste prețul de grevă.
Deoarece modelul Black-Scholes presupune opțiuni în stil european, în care exercițiul este posibil doar la sfârșit, valoarea scontată reprezentată mai sus de X * N (d2) ar trebui actualizată pentru valoarea banală a timpului. Prin urmare, ultima parte se înmulțește cu termenul exponențial crescut la rata dobânzii în perioada de timp.
Diferența netă a celor doi termeni indică valoarea prețului opțiunii de astăzi (în care al doilea termen este actualizat)
În cadrul nostru, astfel de modificări ale prețurilor pot fi incluse mai precis prin mai multe moduri:
- Rafinarea suplimentară a calculelor de rentabilitate așteptate prin extinderea intervalului la intervale mai fine pentru a include mișcările de preț interradiar / intrayear Includerea datelor de piață actuale, deoarece reflectă activitatea curentă (similară cu volatilitatea implicită). să fie actualizate în prezent pentru evaluări realiste și reduse în continuare din valoarea actuală
Astfel, vedem că nu există nicio limită la ipotezele, metodologiile și personalizarea care trebuie selectate pentru analiza cantitativă. În funcție de activul care urmează să fie tranzacționat sau investiția care trebuie luată în considerare, se poate lucra la un model auto-dezvoltat. Este important de menționat că volatilitatea mișcărilor de prețuri ale diferitelor clase de active variază foarte mult - acțiunile au volatilitate variabilă, forex-ul are volatilitatea încruntată - iar utilizatorii ar trebui să încorporeze modelele de volatilitate aplicabile în modelele lor. Ipotezele și dezavantajele sunt parte integrantă a oricărui model și aplicarea cu cunoștință a modelelor în scenariile de tranzacționare din lumea reală poate da rezultate mai bune.
Linia de jos
Dacă activele complexe intră pe piețe sau chiar activele simple de vanilie intrând în forme complexe de tranzacționare, modelarea și analiza cantitativă devin obligatorii pentru evaluare. Din păcate, niciun model matematic nu vine fără un set de neajunsuri și ipoteze. Cea mai bună abordare este de a reduce ipotezele la minimum și de a fi conștienți de dezavantajele implicate, care pot ajuta la trasarea liniilor privind utilizarea și aplicabilitatea modelelor.
