Interesul compus continuu

Dobânda compusă este dobânda calculată pe principalul inițial și, de asemenea, pe dobânda acumulată din perioadele anterioare ale unui depozit sau împrumut. Efectul interesului compus depinde de frecvență.

Presupunem o dobândă anuală de 12%. Dacă începem anul cu 100 USD și compunem o singură dată, la sfârșitul anului, principalul crește până la 112 dolari (100 x 1, 12 $ = 112 $). Dacă în schimb compunem fiecare lună la 1%, ajungem la mai mult de 112 dolari la sfârșitul anului. Adică 100 x 1.01 ^ 12 la 112, 68 USD. (Este mai mare pentru că ne compunem mai des.)

Cel mai frecvent dintre toate se compune compusul restituit. Compunerea continuă este limita matematică pe care o poate atinge interesul compus. Este un caz extrem de compunere, deoarece majoritatea dobânzilor se acumulează lunar, trimestrial sau semianal.

Rata de rentabilitate semianuală

În primul rând, să aruncăm o privire la o convenție potențial confuză. Pe piața obligațiunilor, ne referim la un randament echivalent al obligațiunilor (sau o bază echivalentă a obligațiunilor). Acest lucru înseamnă că, dacă o obligațiune cedează 6% pe o bază semianuală, randamentul său echivalent al obligațiunilor este de 12%.

Imagine de Julie Bang © Investopedia 2019

Randamentul semianal este pur și simplu dublat. Acest lucru este potențial confuz, întrucât randamentul efectiv al unei obligațiuni de 12% echivalente cu un randament este 12, 36% (adică 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Dublarea randamentului semianual este doar o convenție de denumire a obligațiunilor. Prin urmare, dacă citim despre o legătură de 8% compusă semianual, presupunem că aceasta se referă la un randament semianal de 4%.

Tarifele de rentabilitate trimestriale, lunare și zilnice

Acum, să discutăm despre frecvențe mai mari. Încă ne asumăm o dobândă anuală de piață de 12%. Conform convențiilor de denumire a obligațiunilor, aceasta implică o rată compusă semianuală de 6%. Acum putem exprima rata trimestrială compusă ca funcție a ratei dobânzii de pe piață.

Imagine de Julie Bang © Investopedia 2019

Având în vedere o rată anuală de piață ( r), rata trimestrială compusă ( r _q) este dată de:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ begin {align} & r_q = 4 \ left \\ \ end {align}$ rq = 4

Deci, de exemplu, unde rata anuală a pieței este de 12%, rata trimestrială a compusului este de 11, 825%:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ Begin {aliniat} & r_q = 4 \ stângă \ Cong 11, 825 \% \\ \ end {aliniat}$ rq = 4≅11.825%

Imagine de Julie Bang © Investopedia 2019

O logică similară se aplică compunerii lunare. Rata compusă lunară ( r _m ) este dată aici ca funcție a ratei dobânzii anuale de piață ( r):

Rata compusă zilnică ( d) în funcție de rata dobânzii de pe piață ( r) este dată de:

$\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ Begin {aliniat} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ la stânga \\ & \ cong 11, 66 \% \\ \ end {aliniat}$ rd = 360 = 360≅11.66%

Lucrări Compounding Cum continuă

Imagine de Julie Bang © Investopedia 2019

Dacă creștem frecvența compusului până la limita sa, compunem continuu. Deși acest lucru nu poate fi practic, rata dobânzii continuu compuse oferă proprietăți extraordinar de convenabile. Se dovedește că rata dobânzii compuse continuu este dată de:

$\begin{matrix} r_{c o n T eu n u o u s} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ begin {align} & r_ {continuu} = \ ln (1 + r) \ \ end {aliniat}$ rcontinuous = ln (1 + r)

Ln () este jurnalul natural și, în exemplul nostru, rata compusă continuu este, prin urmare:

$\begin{matrix} r_{c o n T eu n u o u s} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ begin {align} & r_ {continuu} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) cong 11, 33 \% \\ \ end {aliniat}$ rcontinuous = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅11.33%

Ajungem în același loc luând jurnalul natural al acestui raport: valoarea finală divizată la valoarea de pornire.

$\begin{matrix} r_{c o n T eu n u o u s} = \ln (\frac{{Valoare}_{Sfârșit}}{{Valoare}_{start}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ begin {align} & r_ {continuu} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ stânga ( frac {112} {100} right) cong 11, 33 \% \\ \ end {aliniat}$ rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11.33%

Acesta din urmă este comun atunci când se calculează randamentul compus continuu pentru un stoc. De exemplu, dacă stocul sare de la 10 USD într-o zi la 11 dolari în ziua următoare, randamentul zilnic compus continuu este dat de:

$\begin{matrix} r_{c o n T eu n u o u s} = \ln (\frac{{Valoare}_{Sfârșit}}{{Valoare}_{start}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ begin {align} & r_ {continuu} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ stânga ( frac { $ 11} se { $ 10} de \ dreapta) Cong 9, 53 \% \\ \ end {aliniat}$ rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%

Ce este atât de grozav în ceea ce privește rata continuu compusă (sau randamentul) pe care o vom indica cu r _c ? În primul rând, este ușor să-l scalăm înainte. Având în vedere un principal al (P), averea noastră finală de peste (n) ani este dată de:

$\begin{matrix} w = P e^{r_{c} n} \end{matrix} \ begin {align} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {align}$ w = Perc n

Rețineți că e este funcția exponențială. De exemplu, dacă începem cu 100 USD și compunem continuu la 8% pe parcursul a trei ani, bogăția finală este dată de:

$\begin{matrix} w = $ 100 e^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ begin {align} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ 127.12 $ \\ \ end {align}$ w = $ 100e (0, 08) (3) = $ 127, 12

Reducerea la valoarea actuală (PV) este doar compunerea inversă , deci valoarea actuală a unei valori viitoare (F) compusă continuu cu o rată de ( rc) este dată de:

$\begin{matrix} PV de F primit în (n) ani = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ begin {align} & \ text {PV of F primit în (n) ani} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {aliniat}$ PV de F primit în (n) ani = erc nF = Fe − rc n

De exemplu, dacă veți primi 100 USD în trei ani sub o rată continuă de 6%, valoarea actuală este dată de:

$\begin{matrix} PV = F e^{- r_{c} n} = ($ 100) e^{- (0.06) (3)} = $ 100 e^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ begin {align} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ 83.53 $ \\ \ end {aliniat}$ PV = Fe-rc n = ($ 100) e (0, 06) (3) = $ 100e-0.18≅ $ 83.53

Scalare pe mai multe perioade

Proprietatea convenabilă a rentabilităților continuu compuse este aceea că se scalează pe mai multe perioade. Dacă rentabilitatea pentru prima perioadă este de 4%, iar randamentul pentru a doua perioadă este de 3%, atunci rentabilitatea pe două perioade este de 7%. Luați în considerare că începem anul cu 100 de dolari, care crește la 120 de dolari la sfârșitul primului an, apoi 150 de dolari la sfârșitul celui de-al doilea an. Randamentele compuse continuu sunt, respectiv, 18, 23% și 22, 31%.

$\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ begin {align} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18, 23 \% \\ \ end {align}$ ln (100120) ≅18.23%

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ Begin {aliniat} & \ ln \ stânga ( frac {150} {120} dreapta) Cong 22.31 \% \\ \ end {aliniat}$ ln (120150) ≅22.31%

Dacă adăugăm pur și simplu aceste lucruri, obținem 40, 55%. Acesta este returul pe două perioade:

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ begin {align} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40, 55 \% \\ \ end {align}$ ln (100150) ≅40.55%

Tehnic vorbind, revenirea continuă este timpul consecvent. Coerența de timp este o cerință tehnică pentru valoarea la risc (VAR). Aceasta înseamnă că, dacă o revenire cu o singură perioadă este o variabilă aleatorie distribuită în mod normal, dorim ca variabilele aleatorii pentru perioade multiple să fie distribuite în mod normal. Mai mult, randamentul compus continuu pe mai multe perioade este distribuit în mod normal (spre deosebire de o simplă rentabilitate procentuală).

Linia de jos

Putem reformula ratele dobânzilor anuale în rate de dobândă semianale, trimestriale, lunare sau zilnice (sau rate de rentabilitate). Cea mai frecventă compunere este combinarea continuă, care ne impune să utilizăm un jurnal natural și o funcție exponențială, care este frecvent utilizat în finanțe datorită proprietăților sale dezirabile - se scalează ușor pe mai multe perioade și este constant în timp.

Cuprins:

Rata de rentabilitate semianuală

Tarifele de rentabilitate trimestriale, lunare și zilnice

Lucrări Compounding Cum continuă

Scalare pe mai multe perioade

Linia de jos

Alegerea editorilor